On the structural representation of S-homogenized optimal control problems

The aim of this paper is an application of variational S-convergence [1-3] to homogenization theory of optimal control problems and to explore the structure of homogenized problems. We have proved the existence of strongly S-homogenized optimal control problems for a family of nonlinear systems with distributed parameters, have derived some important properties which will be use in future and give the formula for representation of homogenized problems

Квазі-напівнеперервна знизу регуляризація відображень у банахових просторах

The method of the quasi-lower semicontinuous regularization of mappings in Banach spaces is proposed.Запропоновано спосіб квазі-напівнеперервної знизу регуляризації відображень у банахових просторах

До питання регулярізації задач векторної оптимізації

We propose the method of regularization of one class of vector optimizations problems in Banach spaces, in case where vector-valued mapping is not lower semicontinuous in certain sense, which implies violation of sufficient conditions of solvability.Запропоновано спосіб регулярізації одного класу задач нескалярної оптимізації в банахових просторах, для випадку, коли векторнозначне відображення не є напівнеперервним знизу у певному сенсі, внаслідок чого порушуються достатні умови розв'язності

Relaxation Methods for Mixed-Integer Optimal Control of Partial Differential Equations

We consider integer-restricted optimal control of systems governed by abstract semilinear evolution equations. This includes the problem of optimal control design for certain distributed parameter systems endowed with multiple actuators, where the task is to minimize costs associated with the dynamics of the system by choosing, for each instant in time, one of the actuators together with ordinary controls. We consider relaxation techniques that are already used successfully for mixed-integer optimal control of ordinary differential equations. Our analysis yields sufficient conditions such that the optimal value and the optimal state of the relaxed problem can be approximated with arbitrary precision by a control satisfying the integer restrictions. The results are obtained by semigroup theory methods. The approach is constructive and gives rise to a numerical method. We supplement the analysis with numerical experiments

Regularization-independent study of renormalized non-perturbative quenched QED

A recently proposed regularization-independent method is used for the first time to solve the renormalized fermion Schwinger-Dyson equation numerically in quenched QED$_4$. The Curtis-Pennington vertex is used to illustrate the technique and to facilitate comparison with previous calculations which used the alternative regularization schemes of modified ultraviolet cut-off and dimensional regularization. Our new results are in excellent numerical agreement with these, and so we can now conclude with confidence that there is no residual regularization dependence in these results. Moreover, from a computational point of view the regularization independent method has enormous advantages, since all integrals are absolutely convergent by construction, and so do not mix small and arbitrarily large momentum scales. We analytically predict power law behaviour in the asymptotic region, which is confirmed numerically with high precision. The successful demonstration of this efficient new technique opens the way for studies of unquenched QED to be undertaken in the near future.Comment: 20 pages,5 figure

On approximation of an optimal boundary control problem for linear elliptic equation with unbounded coefficients

We study an optimal boundary control problem (OCP) associated to a linear elliptic equation -div (‚àáy + A(x)‚àáy) = f. The characteristic feature of this equation is the fact that the matrix A(x) = [aij (x)] i;j=1

On the homogenezation of control system with non-regular constraints

This paper is devoted to the homogenization problem of a control objects all components of mathematical description of which may depend on some small parameter ε. It is assumed that the control object is discribed by a linear elliptic equation subject to control constraints

Замітка про H-збіжність

In this paper we study the H-convergence property for the uniformly bounded sequences of square matrices $\left\{ A_{\varepsilon} \in L^{\infty} (D; \mathbb{R}^{n \times n}) \right\}_{\varepsilon > 0}$. We derive the sufficient conditions, which guarantee the coincidence of$$$H$$$-limit with the weak-* limit of such sequences in$$$L^{\infty} (D; \mathbb{R}^{n \times n})$$$.Вивчаються властивості H-збіжності для послідовності рівномірно обмежених квадратних матриць$$$\left\{ A_{\varepsilon} \in L^{\infty} (D; \mathbb{R}^{n \times n}) \right\}_{\varepsilon > 0}$$$. Отримано достатні умови, які гарантують збіг H-границі з *-слабкою границею в$$$L^{\infty} (D; \mathbb{R}^{n \times n})$$$ таких послідовностей

Про $L^1$-матриці з виродженим спектром та слабку збіжність у зв'язаних вагових просторах Соболєва

We study the compactness property of the weak convergence in variable Sobolev spaces of the following sequences $\left\{ (A_n,u_n) \in L^1(\Omega; {\mathbb{R}}^{N\times N}) \times W_{A_n}(\Omega; {\Gamma}_D) \right\}$, where the squared symmetric matrices$$$A\colon \Omega \rightarrow {\mathbb{R}}^{N\times N}$$$belong to the Lebesgue space$$$L^1(\Omega; {\mathbb{R}}^{N\times N})$$$and their eigenvalues may vanish on subdomains of$$$\Omega$$$with zero Lebesgue measure.Исследуется свойство компактности слабой сходимости в переменных пространствах Соболева для последовательностей вида$$$\left\{ (A_n,u_n) \in L^1(\Omega; {\mathbb{R}}^{N\times N}) \times W_{A_n}(\Omega; {\Gamma}_D) \right\}$$$, где квадратные симметричные матрицы$$$A\colon \Omega \rightarrow {\mathbb{R}}^{N\times N}$$$принадлежат пространству Лебега$$$L^1(\Omega; {\mathbb{R}}^{N\times N})$$$, а их собственные числа могут вырождаться в ноль на подмножествах меры ноль.Дослiджується властивiсть компактностi слабкої збiжностi у змiнних просторах Соболєва для послiдовностей вигляду$$$\left\{ (A_n,u_n) \in L^1(\Omega; {\mathbb{R}}^{N\times N}) \times W_{A_n}(\Omega; {\Gamma}_D) \right\}$$$, де квадратнi симетричнi матрицi$$$A\colon \Omega \rightarrow {\mathbb{R}}^{N\times N}$$$належать просторам Лебега$$$L^1(\Omega; {\mathbb{R}}^{N\times N})$$$, а їх власнi числа можуть дорiвнювати нулю на пiдмножинах мiри нуль

Про деякі гладкі наближення на густих періодичних сингулярних з'єднаннях

In this paper we study the approximation properties of measurable and square-integrable functions. In particular we show that any $L^2$-bounded function can be approximated in$$$L^2$$$-norm by smooth functions defined on a highly oscillating boundary of thick multi-structures in$$${\mathbb{R}}^n$$$. We derive the norm estimates for the approximating functions and study their asymptotic behaviour.Досліджуються питання апроксимації$$$L^2$$$-обмежених функцій, означених на густих сингулярних з'єднаннях. Показано, що довільну функцію з означеного класу можна наблизити в просторі$$$L^2$$$ гладкою функцією, за її значеннями на боковій поверхні швидко осцилюючого сингулярного з'єднання. Отримано оцінки таких наближень та досліджено їх асимптотичну поведінку